lunes, 25 de mayo de 2015

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.

Unidad V. Aplicaciones de la derivada.
5.1 Función creciente y decreciente.
5.2 Extremos relativos y extremos absolutos.
5.3 Prueba de la primera derivada para la determinación de máximos y mínimos.
5.4 Concavidad, puntos de inflexión y prueba de la segunda derivada.
5.5 Optimización de funciones económico-administrativas: maximización de funciones
de ingreso, utilidad y beneficios; minimización de funciones de costos y costos
promedio.
5.6 Elasticidades: elasticidad de la demanda y elasticidad del ingreso.

objetivos:

que el ser humano logre analizar el comportamiento de las funciones con el uso de técnicas de
optimización. Aplicará estas técnicas en la resolución de problemas de las
disciplinas económico-administrativas.
FUNCION CRECIENTE Y DECRECIENTE
· Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que
 f( x1 ) < f( x2 ).
Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).
· Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si para cualesquiera puntos del intervalo, x1  y x2, que cumplan x1 £ x2, entonces f(x1 ) ³ f(x2 ).
Siempre que de x1 < x2 se deduzca f(x1 ) > f(x2 ), la función se dice estrictamente decreciente.
FUNC. CREC. Y DECREC. EN PUNTO
· Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto
f(x) £ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a, a + e).
· Análogamente, una función es decreciente en un punto a si existe un intervalo abierto (a - e, a + e) en el que
f(x) ³ f(a) si x pertenece a (a - e, a) y
f(x) £ f(a) si x pertenece a (a, a + e).
La definición de función estrictamente creciente o decreciente en un punto se obtiene sin más que sustituir el símbolo £ por < y el ³ por el >.
Es preciso diferenciar el significado de función creciente o decreciente en un intervalo del de función creciente o decreciente en un punto.
Ejemplo: estudio del crecimiento y decrecimiento de una función
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función y = x2 en los puntos
Resolución:
· La función y = x2 es estrictamente creciente en el intervalo [0, +¥) puesto que si
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcreyd.htm
 EXTREMOS RELATIVOS Y EXTREMOS ABSOLUTOS:


Los extremos relativos y absolutos de una función causan muchos dolores de cabeza entre los estudiantes ya que los confunden. En los siguientes vídeos os voy a explicar de una forma clara la forma de calcularlos y diferenciarlos, tanto analíticamente como  gráficamente.
Los extremos relativos se obtienen derivando la función a estudiar e igualando la primera derivada a cero, despejamos la variable,normalmente se llama x, y en caso de que exista solución, esos valores de la x constituyen la coordenada x del punto de los extremos relativos. Lo que no sabemos aún es si son máximos o mínimos, pero son extremos relativos sin ninguna duda. Para poder discernir que tipo de extremos son usaremos el criterio de la segunda derivada.
Los extremos absolutos se calculan usando el “desconocido” Teorema de los valores extremos. Este teorema dice : `Toda función contínua en un intervalo cerrado tiene extremos absolutos (mínimo absoluto y máximo absoluto).´ Es decir, el teorema garantiza la existencia de extremos absolutos para una función continua en un intervalo cerrado pero no dice cómo determinarlos, en los vídeos lo veremos de forma fácil y sencilla.http://fisicaymates.com/extremos-relativos-y-absolutos-de-una-funcion/
 PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA CON MAXIMOS Y MINIMOS :
Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los mínimos y máximos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada o derivada principal, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto señalado que contiene al punto crítico c.

Teorema valor máximo y mínimo

"Sea c un punto crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente en c, entonces f(c) puede clasificarse como sigue."
1. Si f '(x) cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene un máximo relativo en (c, f(c)).
2. Si f '(x) cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene un mínimo relativo en (c, f(c)).
3. Si f '(x) es positiva en ambos lados de c o negativa en ambos lados de c, entonces f(c) no es ni un mínimo ni un máximo relativo.http://es.wikipedia.org/wiki/Criterio_de_la_primera_derivada
CONCAVIDAD Y PUNTOS DE INFLEXION EN LA SEGUNDA DERIVADA:


Concavidad y puntos de inflexión

La segunda derivada de una función también proporciona información sobre el comportamiento de ésta. Para iniciar este estudio daremos la siguiente:


Definición  de concavidad
Se dice que la gráfica de una función f es cóncava hacia arriba en un intervalo A, $(A\subseteq D_{f})$, si $f'(x)$ es creciente sobre A. Si $f'(x)$ es decreciente sobre A entonces se dice que la gráfica de f es cóncava hacia abajo.
Note que es la función derivada $f'$ la que debe ser creciente o decreciente en el intervalo A.

En la siguiente representación gráfica, una función f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]a,b[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]b,c[$



Teorema 5
Si f es una función tal que $f''(x)>0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.

Demostración:

Si $f''(x)>0$ y como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces se tiene que $f'(x)$ es creciente sobre $]a,b[$ por lo que de acuerdo con la definición de concavidad de una función, se obtiene que f es cóncava hacia arriba sobre $]a,b[$.
 
Teorema 6
Si f es una función tal que $f''(x)<0$ cuando $x \in ]a,b[$, entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Demostración:

De la hipótesis: $f''(x)<0$, y como $f''(x)_{x}=D_{x}f'(x)$, se obtiene que $f'(x)$ es decreciente sobre $]a,b[$ por lo que según la definición dada sobre concavidad, la gráfica de la función f es cóncava hacia abajo sobre $]a,b[$.

Ejemplifiquemos los dos teoremas anteriores utilizando la función f con ecuación $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$

Si $f(x)=\displaystyle\frac{x^4}{12}-\displaystyle\frac{x^3}{3}$ entonces $f'(x)=\displaystyle\frac{x^3}{3}-x^2$, y, $f''(x)=x^2-2x=x(x-2)$

Luego, $f''(x)>0$ si $x \in ]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y, $f''(x)<0$ si $x \in ]0,2[$.

Como $f''(x)= D_{x}f'(x)$, entonces $f'$ es creciente en los intervalos $]-\infty,0[\;,\; ]2,+\infty[$, pues en ellos $f''(x)$ es positiva. Además $f'$ es decreciente en el intervalo $]0,2[$ pues en el $f''(x)$ es negativa.

Luego, f es cóncava hacia arriba en el intervalo $]-\infty,0[ \; \cup \; ]2,+\infty[$ y cóncava hacia abajo en el intervalo $]0,2[$.

La representación gráfica de la función $f'$ es la siguiente:

Representación gráfica de la función $f'$ https://tecdigital.tec.ac.cr/revistamatematica/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/aplicacionesderivada/html/node5.html
 ELASTICIDAD DE LA DEMANDA:
La elasticidad de la demanda
Hay algunos bienes cuya demanda es muy sensible al precio, pequeñas variaciones en su precio provocan grandes variaciones en la cantidad demandada. Se dice de ellos que tienen demanda elástica. Los bienes que, por el contrario, son poco sensibles al precio son los de demanda inelástica o rígida. En éstos pueden producirse grandes variaciones en los precios sin que los consumidores varíen las cantidades que demandan. El caso intermedio se llama de elasticidad unitaria.
La elasticidad de la demanda se mide calculando el porcentaje en que varía la cantidad demandada de un bien cuando su precio varía en un uno por ciento. Si el resultado de la operación es mayor que uno, la demanda de ese bien es elástica; si el resultado está entre cero y uno, su demanda es inelástica.
Los factores que influyen en que la demanda de un bien sea más o menos elástica son:
1) Tipo de necesidades que satisface el bien. Si el bien es de primera necesidad la demanda es inelástica, se adquiere sea cual sea el precio; en cambio si el bien es de lujo la demanda será elástica ya que si el precio aumenta un poco muchos consumidores podrán prescindir de él.
2) Existencia de bienes sustitutivos. Si existen buenos sustitutos la demanda del bien será muy elástica. Por ejemplo, un pequeño aumento en el precio del aceite de oliva puede provocar que un gran número de amas de casa se decida por usar el de girasol.
3) Importancia del bien en términos de coste. Si el gasto en ese bien supone un porcentaje muy pequeño de la renta de los individuos, su demanda será inelástica. Por ejemplo, el lápiz. Las variaciones en su precio influyen muy poco en las decisiones de los consumidores que desean adquirirlos.
4) El paso del tiempo. Para casi todos los bienes, cuanto mayor sea el período de tiempo considerado mayor será la elasticidad de la demanda. Puede ser que al aumentar el precio de la gasolina, su consumo no varíe mucho, pero al pasar el tiempo podrá ser substituida en algunos de sus usos por el carbón, en otros usos por el alcohol, de forma que la disminución en la demanda sólo se nota cuando pasa el tiempo.
5) El precio. finalmente hay que tener en cuenta que la elasticidad de la demanda no es la misma a lo largo de toda la curva. Es posible que para precios altos la demanda sea menos elástica que cuando los precios son más bajos o al revés, dependiendo del producto de que se trate.http://www.eumed.net/cursecon/4/elasticidad-demanda.htm


ELASTICIDAD DE INGRESODE LA DEMANDA:

ELASTICIDAD INGRESO DE LA DEMANDA
La elasticidad ingreso de la demanda , llamada a veces elasticidad demanda-renta, mide cómo afectan las variaciones de la renta o ingresos de los consumidores a la cantidad demandada de un bien. El coeficiente de elasticidad ingreso de la demanda e I se calcula dividiendo la variación porcentual de la demanda por la variación porcentual de la renta.
De acuerdo al valor de e I , los bienes se pueden clasificar como:
•  Bienes normales : Son aquellos cuyo coeficiente de elasticidad ingreso es positivo. Esto significa que cuando aumentan los ingresos del consumidor, la demanda de los bienes normales también aumenta. Pueden ser:
•  Bienes de lujo: Su coeficiente de elasticidad ingreso es mayor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción mayor.
•  Bienes básicos: Su coeficiente de elasticidad ingreso es positivo y menor que 1. Es decir, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda crece en una proporción menor.
•  Bienes inferiores : Su coeficiente de elasticidad ingreso es negativo. Por tanto, cuando los ingresos del consumidor aumentan, la demanda de estos bienes disminuye porque el consumidor puede optar por otros productos de mayor calidad.
Debido a la variabilidad de la elasticidad ingreso, un bien puede ser de lujo a niveles bajos de ingreso y un bien inferior a niveles altos de ingreso.
ELASTICIDAD CRUZADA DE LA DEMANDA
La elasticidad cruzada de la demanda mide cómo evoluciona y se modifica la demanda de un bien cuando cambia el precio de otro. La elasticidad cruzada se calcula dividiendo el cambio porcentual de la cantidad demandada del bien X ante una variación porcentual del precio del bien Y . Si los bienes son sustitutivos (por ejemplo, distintas marcas de automóviles) el aumento del precio de la marca Xpuede aumentar las ventas de la marca Y , por lo que la elasticidad cruzada será positiva. Si los bienes son complementarios, por ejemplo, los ordenadores o computadoras y el software, el aumento del precio de uno disminuirá las ventas del otro, por lo que la elasticidad cruzada será negativa. Si los bienes son independientes, por ejemplo, teléfonos y cepillos de dientes, por mucho que aumente el precio de uno no variará la demanda del otro, por lo que la elasticidad cruzada será cero.
El coeficiente de elasticidad cruzada del bien X con respecto al bien Y se define como:
 EN CONCLUCION: Las aplicaciones de las derivdas nos sirven para saver en que punto nuestro producto se encuentra mas fuerte para saber si la demanda esta en contra o a favor de nosotros y haci saber si la oferta entraria en nuestro negocio.
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