MATEMATICAS l: Unidad III. Derivada de una función.

Unidad III. Derivada de una función.
3.1 Definición de la derivada.
3.2 Diferenciación de funciones por incrementos.
3.3 La derivada como razón de cambio.
3.4 Diferenciabilidad y continuidad.
3.5 Reglas básicas de derivación: la derivada de una constante, de una constante por
una función, de suma o resta de funciones, y del producto o del cociente de funciones.
3.6 La regla de la cadena y de la potencia.
3.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.

OBJETIVO:

que el ser humano pueda entender el concepto de derivada y su interpretación geométrica y
como razón de cambio. Utilizará la definición de la derivada para obtener algunas
reglas de derivación. Aplicará las reglas de derivación en la resolución de
problemas que involucren los conceptos de tasa instantánea de cambio, tangente
a una curva en un punto; y medida marginal de funciones de costo, utilidad,ingreso y produccion.

DEFINICION DE DERIVADA:
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.
Entonces el valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.1 http://es.wikipedia.org/wiki/Derivada

Diferenciación de funciones por incrementos.

Si f(x) es una función derivable, la diferencial de una funcióncorrespondiente al incremento h de la variable independiente, es el producto f'(x) · h.

La diferencial de una función se representa por dy.

Interpretación geométrica

La diferencial en un punto representa el incremento de la ordenada de la tangente, correspondiente a un incremento de la variable.

Ejemplos

http://akantormadara.blogspot.mx/2015/05/32-diferenciacion-de-funcion-por.html

DERIVADA COMO RAZON O CAMBIO:

a razón de cambio es la proporción en la que una variable cambia con respecto a otra, de manera más explícita hablamos de la pendiente de una curva en una gráfica, es decir el cambio en el eje "y" entre el cambio del eje "x". A esto se le conoce también como la primera derivada.

La razón de cambio instantánea también conocida como la segunda derivada se refiere a la rapidez con que la pendiente de una curva cambia en determinado momento. Por lo tanto hablamos de la razón de cambio de la pendiente en un momento especifico.

https://sites.google.com/site/mate2fclazopalta/3-1-2-razon-de-cambio-instantaneo

DIFERENCIACION Y CONTUIDAD:

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Ejemplos

Estudiar la continuidad y derivabilidad de las funciones:

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función no es continua, por tanto tampoco es derivable.

En primer lugar estudiamos la continuidad en x = 0.

La función es continua, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

Como no coinciden las derivadas laterales no es derivable en x = 0.

3. f(x) = x² en x = 0.

La función es continua en x= 0, por tanto podemos estudiar la derivabilidad.

En x = 0 la función es continua y derivable.

http://www.vitutor.com/fun/4/a_7.html

REGLAS DE LAS DERIVADAS
Las reglas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza un método u otro.

Derivada de una función de grado n

Una función de grado n, donde n es un exponente real, se representa por

f(x)=x^{n}

y su derivada es

f'(x)=nx^{n-1}

.
Algunos tipos de este tipo de funciones son: Función cuadrática, función cúbica, entre otras.
Por ejemplo la función:

f(x)=x^{3}

Lo primero es "bajar" el exponente de tal forma que éste multiplique a la variable con respecto a la cual estamos derivando, luego al mismo exponente se le resta la unidad formando uno nuevo, así:

f'(x)=3x^{3-1}

Quedando finalmente:

f'(x)=3x^{2}

Considérese la función

f(x)= x^{1/3}\,

Se tiene:

f\ '(x)= 1/3*x^{-2/3}

Derivada de una constante por una función

Cuando una función esté representada por medio de

f(x)=cx^{n}

, su derivada equivale a

f'(x)=n(cx^{(n-1)})

de la siguiente manera:
Consideremos la siguiente función:

f(x)=8x^{4}

, lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

f'(x)=4(8x^{4-1})

Para obtener

f'(x)=32x^{3}

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

f(x)=7x

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

f'(x)=7

Puesto que

x^{0}=1

Derivada de una suma¹

Se puede demostrar a partir de la definición de derivada, que la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas de cada una.
Es decir,

(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)

\frac{d[f(x)+g(x)]}{dx}=\frac{df}{dx}+\frac{dg}{dx}

.
Como ejemplo consideremos la función

f(x)=3x^{5}+x^{3}

, para determinar su derivada se trabaja la derivada de cada término aparte y la suma de ambos será la derivada de la función:

f '(x)=15x^{4}+3x^{2}

Derivada de un producto

Artículo principal: Regla del producto (cálculo)

La derivada se expresa literalmente de la siguiente forma:
"La derivada de un producto de dos funciones es equivalente a la suma entre el producto de la primera función sin derivar y la derivada de la segunda función y el producto de la derivada de la primera función por la segunda función sin derivar."
Y matemáticamente expresado por la relación

(f\cdot g)' = f'\cdot g + f\cdot g' \,

. Consideremos la siguiente función como ejemplo:

h(x)=(4x+2)(3x^{7}+2)

Identificamos a

f(x)=(4x+2)

g(x)=(3x^{7}+2)

, utilizando las reglas anteriormente expuestas, vemos que:

f'(x)=4

y que

g'(x)=21x^{6}

Por lo tanto

h'(x)= 4\cdot(3x^{7}+2)+(4x+2)\cdot(21x^{6})

Simplificando y organizando el producto obtenido nos queda:

h'(x)=84x^{7}+12x^{7}+42x^{6}+8

Sumamos términos semejantes y finalmente obtenemos la derivada:

h'(x)=96x^{7}+42x^{6}+8

Si por ejemplo tenemos la derivada del producto de tres funciones que dependen de la misma variable, podemos pensar el producto de dos de las funciones como si se tratara de una tercera función es decir

(f\cdot g\cdot h)' = (f\cdot p)'

en donde

p = g\cdot h

(sin importar que dos funciones escogemos).

Derivada de un cociente

Artículo principal: Regla del cociente

La derivada de un cociente se determina por la siguiente relación:

\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}

Para aquellos que se puedan confundir por algunas variables de más se puede escribir así:

\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}

Es decir:
"La derivada de un cociente de dos funciones es la función ubicada en el denominador por la derivada del numerador menos la derivada de la función en el denominador por la función del numerador sin derivar, todo sobre la función del denominador al cuadrado".
Este caso se relaciona mucho con la regla de derivada de un producto, pero hay que tener en cuenta la resta y el orden de los factores. Pero ya explicando lo dicho anteriormente consideremos como ejemplo la siguiente función:

h(x)=\frac{3x+1}{2x}

Ahora se trabaja el enunciado anterior el cual nos dice que multipliquemos el denominador que en este caso es

g(x)=2x

y se multiplique por la derivada del numerador que seria

f'(x)=3

; luego la segunda parte dice que tomemos la función del numerador (

f(x)

) sin derivar y lo multipliquemos por la derivada de

g(x)=2x

, que seria

g'(x)=2

, todo esto lo dividimos entre el denominador al cuadrado, así:

h'(x)=\frac{(3)(2x)-(3x+1)(2)}{(2x)^{2}}

Ahora todo es cuestión de simplificar:

h'(x)=\frac{6x-6x-2}{4x^{2}}=-\frac{1}{2x^{2}}

Regla de la cadena

Artículo principal: Regla de la cadena

La regla de la cadena es una fórmula para calcular la derivada de la composición de dos o más funciones. Esto es, si f y g son dos funciones, entonces la regla de la cadena expresa la derivada de la función compuesta f ∘ g en términos de las derivadas de f y g. Por ejemplo , la regla de la cadena def ∘ g (x) ≡ f [g (x)] es

(f \circ g)'(x) = f'(g(x))\cdot g'(x)

o escrito en notación de Leibniz

\frac {df}{dx} = \frac {df}{dg} \, \frac {dg}{dx} \, .

Otras reglas

Funciones inversas y diferenciación

Artículo principal: Derivada de la función inversa

y = f\left(x\right)

entonces

x = f^{-1}\left(y\right)

y si

f\left(x\right)

y su inversa

f^{-1}\left(x\right)

son diferenciables,

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}

para los casos en que

dx \ne 0

y cuando

dy \ne 0

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable

Sea

x = f\left(t\right)

y = g\left(t\right)

entonces

\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}

Diferenciación implícita

f\left(x,y\right) \ne 0

es una función implícita,

se tiene que:

\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

\frac{d}{dx}\left(c^{ax}\right) = {c^{ax} \ln c \cdot a } ,\qquad c > 0

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left(e^x\right) = e^x

\frac{d}{dx}\left( \log_c x\right) = {1 \over x \ln c} , \qquad c > 0, c \ne 1

Lo anterior es válido para todo c, pero para c < 0 el resultado es un número complejo.

\frac{d}{dx}\left( \ln x\right) = {1 \over x} ,\qquad x > 0

\frac{d}{dx}\left( \ln |x|\right) = {1 \over x}

\frac{d}{dx}\left( x^x \right) = x^x(1+\ln x).

Derivada de funciones trigonométricas

Artículo principal: Derivada de funciones trigonométricas

$(\sin x)' = \cos x \,$	$(\arcsin x)' = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\cos x)' = -\sin x \,$	$(\arccos x)' = -{1 \over \sqrt{1 - x^2}} \,$
$(\tan x)' = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \,$	$(\arctan x)' = { 1 \over 1 + x^2} \,$
$(\sec x)' = \sec x \tan x \,$	$(\operatorname{arcsec} x)' = { 1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\csc x)' = -\csc x \cot x \,$	$(\operatorname{arccsc} x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{x^2 - 1}} \,$
$(\cot x)' = -\csc^2 x = { -1 \over \sin^2 x} = -(1 + \cot^2 x)\,$	$(\operatorname{arccot} x)' = -{1 \over 1 + x^2} \,$

Derivada de funciones hiperbólicas

$( \sinh x )'= \cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arsinh}\,x)' = { 1 \over \sqrt{x^2 + 1}}$
$(\cosh x )'= \sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$	$(\operatorname{arcosh}\,x)' = {\frac {1}{\sqrt{x^2-1}}}$
$(\tanh x )'= {\operatorname{sech}^2\,x}$	$(\operatorname{artanh}\,x)' = { 1 \over 1 - x^2}$
$(\operatorname{sech}\,x)' = - \tanh x\,\operatorname{sech}\,x$	$(\operatorname{arsech}\,x)' = -{1 \over x\sqrt{1 - x^2}}$
$(\operatorname{csch}\,x)' = -\,\operatorname{coth}\,x\,\operatorname{csch}\,x$	$(\operatorname{arcsch}\,x)' = -{1 \over \|x\|\sqrt{1 + x^2}}$
$(\operatorname{coth}\,x )' = -\,\operatorname{csch}^2\,x$	$(\operatorname{arcoth}\,x)' = -{ 1 \over 1 - x^2}$

http://es.wikipedia.org/wiki/Reglas_de_derivaci%C3%B3n

REGLA DE LA CADENA:

Esta propiedad asegura que si y = f(x) es una función derivable en un cierto intervalo I,

y z = g(y) es otra función derivable y definida en otro intervalo que contiene a todos los valores (imágenes) de la función f,

entonces la función compuesta

definida por (g o f) (x) = g[f(x)], es derivable en todo punto x de I y se obtiene

Ejemplo: cálculo de derivadas

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Calcular la derivada de la función h(x) = sen x².

Resolución:

· La función sen x²es una función compuesta de otras dos f(x) = x² y g(x) = sen x.

· Al ser g(x) = sen x, g'(x) = cos x, por tanto g'[f(x)] = cos f(x) = cos x²

· Por la regla de la cadena,

h'(x) = g'[f(x)] · f'(x) = 2x cos x²

Resolución:

· De g(x) = x³, se deduce g'(x) = 3x². En consecuencia,

· Por la regla de la cadena,

Regla de la cadena para la función potencial

Se sabe que la derivada de una función f(x) = x^m es f'(x) = m · x^{m - 1}.

Si en lugar de x se tuviese una función u(x), la derivada de u(x)^m

aplicando la regla de la cadena, será:

[u(x)^m]' = m · u(x)^{m - 1} · u'(x)

Para simplificar la notación, y a partir de ahora, se escribirá simplemente u en lugar de u(x).

Así,

_{http://www.sectormatematica.cl/contenidos/cadena.htm}

REGLA DE LA POTENCIA:

Regla de Potencias

La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base.

Con base a la regla de potencias te presentamos un video explicativo sobre el tema y algunos ejemplos que te pueden ayudar para el desarrollo de tu aprendizaje:

Te presentamos 5 ejercicios para tu práctica:

f(x) = -2x³
f(x) = 12²
y = 3x³+2x²+x
y = 29x³+2x²-12x
y = 45x²

Estos ejercicios te ayudaran a comprender y representar de mejor manera la regla de potencias, efectúalos para encontrar el producto de la misma y asi lograr un buen programa de aprendizaje.

http://derivadasencalculo.blogspot.mx/p/regla-de-potencias.html

LAS DERIVADAS NOS SIRVEN PARA PODER SABER LO QUE BIENE SIENDO EL COSTO MARGINAL DE UNA EMPRESA EL COSTO UNITARIO EN BASE DE UN PRODUCTO INDUSTRIAL ENTRE OTRAS COSAS

MATEMATICAS l

lunes, 25 de mayo de 2015

Unidad III. Derivada de una función.

OBJETIVO:

Interpretación geométrica

Ejemplos

Derivada de una función de grado n

Derivada de una constante por una función

Derivada de una suma¹

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Regla de la cadena

Otras reglas

Funciones inversas y diferenciación

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable

Diferenciación implícita

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Derivada de funciones trigonométricas

Derivada de funciones hiperbólicas

REGLA DE LA POTENCIA:

Regla de Potencias

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lunes, 25 de mayo de 2015

Unidad III. Derivada de una función.

OBJETIVO:

Interpretación geométrica

Ejemplos

Derivada de una función de grado n

Derivada de una constante por una función

Derivada de una suma1

Derivada de un producto

Derivada de un cociente

Regla de la cadena

Otras reglas

Funciones inversas y diferenciación

Derivada de una variable con respecto a otra cuando ambas son funciones de una tercera variable

Diferenciación implícita

Derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales

Derivada de funciones trigonométricas

Derivada de funciones hiperbólicas

REGLA DE LA POTENCIA:

Regla de Potencias

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Derivada de una suma¹