Unidad IV. Tópicos complementarios de diferenciación.
4.1 Derivadas de funciones logarítmicas.
4.2 Derivadas de funciones exponenciales.
4.3 Diferenciación implícita.4.4 Diferenciación logarítmica.
4.5 Derivadas de orden superior.
4.6 Diferenciales.
4.7 Aplicaciones a las ciencias económico administrativas: costo marginal, ingreso
marginal, utilidad marginal, propensión marginal al consumo y propensión marginal al
ahorro.
OBJETIVO:
Que el ser humano logre aprender el uso de técnicas avanzadas de derivación y susaplicaciones, para casos especiales como derivadas de funciones exponenciales,
funciones logarítmicas y funciones implícitas, entre otras. Comprenderá el
concepto de diferencial y sus aplicaciones.
DERIVADAS DE FUNCIONES LOGARITMICAS
La derivada de un logaritmo en base a es igual a la derivada de la función dividida por la función, y por el logaritmo en base a de e.
Como 
, también se puede expresar así:
, también se puede expresar así:
Derivada de un logaritmo neperiano
La derivada del logaritmo neperiano es igual a la derivada de la función dividida por la función.
En algunos ejercicios es conveniente utilizar las propiedades de los logaritmos antes de derivar, ya que simplificamos el cálculo.
Ejemplos
DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES:
X2 + y2 = 4
FUNCIONES IMPLÍCITAS Y EXPLICITAS.
Se dice que una función donde la variable depende se expresa solo en términos de la variable independiente x, a saber, y = f(x), es una función explicita por ejemplo y = ½ x3 -1 es una función explicita. Por otra parte se dice que una función implícita de x acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente la función o que es una función implícita de x. acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente las dos funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = – 4 – x2
EJEMPLO DE LA DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.
Encuentre dy/ dx si x2 + y2 = 4
Solución. Se diferencian ambos miembro de la ecuación y luego se usa (6):
dx2 + d y2 = d 4
dx dx dx
2x + 2y dy = 0
Dx
Al despejar la derivada obtenemos.
Dy = -x
Dx yhttp://calculoumgsanmarcos.ccvsanmarcos.com/f-diferenciacion-implicita/
DIFERENCIACION LOGARTIMICA
http://prezi.com/qbirerq_zi46/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:
ea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
; 
; ![D_x[f_{(x)}]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_vJWEUKaQuATGbGHaPa8oeK0Q_ze-JtoOT1Sj5o2AD5Dy00Yty1TW9ZXTwL_D_bgGKjbBw3Gpzxb1O0WOUkR4IV2W4wr8V6vs_JJ9UXDMnfj6DJPiIX62ls9myEyidlAx9w=s0-d)
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; ![D_{xx}[f_{(x)}]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_td0k0z16Ztsmy9nE0cvWFA2bNXW0ooD98JMl_BAT_S1fO7lIXx-wzLdtneKJNVVx-FYVhQpE-DfbcExehTdLZAFuoWC5qR5s7YTNubr-Wu-r5szt6hOLhi2qCcJ4OZ40dyJJb31ZSaUw=s0-d)
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; ![D_{xxx}[f_{(x)}]](https://lh3.googleusercontent.com/blogger_img_proxy/AEn0k_s6bV9GxbOxoDkgaxwgclv-e9Wj3hibWNLinxt0_GfFuiPdIgZH8NKuaUxA8tVIDwnzCl0bF6kmr7Kyq0O0Wlq1ULAQkeLdN7s5pI6khe9aTO7TFG5o_ZBBMQf267c6m8z_i0HtoSGnq7I=s0-d)
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Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.
Encontrar la 2da derivada de
Encontramos la 1ra derivada.
derivamos f'(x).
La derivada de la función exponencial ea igual a la misma función por el logaritmo neperiano de la base y por la derivada del exponente.
Derivada de la función exponencial de base e
La derivada de la función exponencial de base e ea igual a la misma función por la derivada del exponente.
Ejemplos
DIFERENCIACION IMPLICITA:
Las gráficas de las diversas ecuaciones que se estudian en matemáticas no son las graficas de funciones por ejemplo la ecuación.X2 + y2 = 4
FUNCIONES IMPLÍCITAS Y EXPLICITAS.
Se dice que una función donde la variable depende se expresa solo en términos de la variable independiente x, a saber, y = f(x), es una función explicita por ejemplo y = ½ x3 -1 es una función explicita. Por otra parte se dice que una función implícita de x acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente la función o que es una función implícita de x. acabamos de ver que la ecuación x2 + y2 = 4 define implícita mente las dos funciones f(x) = 4 – x2 y g(x) = – 4 – x2
EJEMPLO DE LA DIFERENCIACIÓN IMPLÍCITA.
Encuentre dy/ dx si x2 + y2 = 4
Solución. Se diferencian ambos miembro de la ecuación y luego se usa (6):
dx2 + d y2 = d 4
dx dx dx
2x + 2y dy = 0
Dx
Al despejar la derivada obtenemos.
Dy = -x
Dx yhttp://calculoumgsanmarcos.ccvsanmarcos.com/f-diferenciacion-implicita/
DIFERENCIACION LOGARTIMICA
http://prezi.com/qbirerq_zi46/?utm_campaign=share&utm_medium=copy&rc=ex0share
DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR:
ea f(x) una función diferenciable, entonces se dice que f '(x) es la primera derivada de f(x). Puede resultar f '(x) ser una función derivable, entonces podriamos encontrar su segunda derivada, es decir f(x). Mientras las derivadas cumplan ser funciones continuas y que sean derivables podemos encontrar la n-ésima derivada. A estas derivadas se les conoce como derivadas de orden superior.
Notación
Se utiliza la siguientes notaciones para representar las derivadas de orden superior1ra Derivada
; ; ; ; ; 2da Derivada
; ; ; ; ; 3ra Derivada
; ; ; ; ; n-Derivada
; ; ; Cuando el orden de la derivada es mayor a o igual a 4 hay ciertas notaciones que ya no se utilizan.
Ejemplo #1
Encontrar la 2da derivada de
Encontramos la 1ra derivada.
derivamos f'(x).
--Jorgetr rhttp://www.wikimatematica.org/index.php?title=Derivadas_de_orden_superior
EN CONCLUCIONlas derivadas nos facilitan en encontrar un mejoramiento en los puntos de un producto ya que con la primera derivada pódemos encontrar el precio de un producto y si aplicamos la segunda y tercera deriva encontraremos el recio de muchos productos,
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