UNIDAD 1. FUNCIONES

Juan Martin Jimenez Romo 

matematicas1 

carerra administracion de empresas LIAD1

profesor : Miguel Angel Cadena Perez

unidad 1: funciones:

temas:

1.1 Definición y notación de función.
1.2 Dominio y rango de una función.
1.3 Tipos de funciones.
1.4 Operaciones con funciones.
1.5 Composición de funciones.
1.6 Gráfica de una función.
1.7 Función lineal y función cuadrática.
1.8 Función exponencial y logarítmica.
1.9 Aplicaciones en las ciencias económico administrativas: funciones de oferta y
demanda; recta presupuestal, funciones de ingresos, costos y utilidades; funciones de
apreciación y depreciación.

OBJETIVOS:

El alumno entenderá el concepto de función y su manipulación algebraica, así
como su representación gráfica. Resolverá problemas de aplicación, dando
especial énfasis a aquellos relacionados con las áreas económico administrativas,
tales como la Economía, Mercadotecnia, Administración, Turismo, Recursos
Humanos, Sistemas de Información y Negocios Internacionales.

DEFINICION Y NOTACION DE FUNCION:

En matemáticas, se dice que una magnitud o cantidad es función de otra si el valor de la primera depende exclusivamente del valor de la segunda. Por ejemplo el área A de un circulo es función de su radio r: el valor del área es proporcional al cuadrado del radio, A = π·r². Del mismo modo, la duración T de un viaje de tren entre dos ciudades separadas por una distancia d de 150 km depende de la velocidad v a la que este se desplace: la duración es inversamente proporcional a la velocidad, d / v. A la primera magnitud (el área, la duración) se la denomina variable dependiente, y la cantidad de la que depende (el radio, la velocidad) es lavariable independiente.

En análisis matemático, el concepto general de función, aplicación o mapeo se refiere a una regla que asigna a cada elemento de un primer conjunto un único elemento de un segundo conjunto (correspondencia matemática). Por ejemplo, cada número entero posee un único cuadrado, que resulta ser un número natural (incluyendo el cero):

...	−2 → +4,	−1 → +1,	±0 → ±0,
	+1 → +1,	+2 → +4,	+3 → +9,	...

Esta asignación constituye una función entre el conjunto de los números enteros Z y el conjunto de los números naturales N. Aunque las funciones que manipulan números son las más conocidas, no son el único ejemplo: puede imaginarse una función que a cada palabra del español le asigne su letra inicial:

...,

Estación → E,

Museo → M,

Arroyo → A,

Rosa → R,

Avión → A,

..

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

ejemplo

Ejemplo1 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3".                                               x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo − 2 − 1 f(−2)  = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 − 1 1 f(−1)  = 2(−1) + 3 = −2 + 3 =    1 0 3 f(0)    = 2(0)   + 3 =   0 + 3 =    3 1 5 f(1)    = 2(1)   + 3 =   2 + 3 =    5 2 7 f(2)    = 2(2)   + 3 =   4 + 3 =    7 3 9 f(3)    = 2(3)   + 3 =   6 + 3 =    9 4 11 f(4)    = 2(4)   + 3 =   8 + 3 =  11   Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto(X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento enX sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.  dominio y rango de una funcion: El dominio de una función está dado por el conjunto de valores que puede tomar una función. Por ejemplo si f(x) = x;  esta variable x puede tomar cualquier valor, no tiene ninguna restricción, entonces su dominio esta compuesto por todos los números Reales. Como los valores de la función están dados para la variable independiente (x), los valores que puede tomar la función son aquellos para los cuales al evaluar la función para un valor de x, su resultado nos da un número Real. Por ejemplo la función: f(x) = , Para buscar el dominio de la función, se debe analizar para qué valores de x la función produce como resultado un número Real. Se observa, para el ejemplo que al asignarle a x un número negativo, la expresión se nos presenta como una raíz cuadrada de un número negativo, lo cual no es posible; no es posible hallar dentro de los Reales un número que satisfaga la expresión; por lo tanto el dominio de la función está constituido por todos los números mayores o iguales que cero; expresado como: En general se pueden seguir las siguientes recomendaciones para obtener el dominio de una función o de una expresión algebraica: No puede haber una raíz cuadrada ( ó cualquier raíz par ) negativa, pues se trataría de un número imaginario que no hace parte de los Reales. Un fraccionario no puede contener por denominador cero, pues la expresión queda indeterminada. El rango de una función, está determinado por todos los valores que pueden resultar al evaluar una función. Son los valores obtenidos para la variable dependiente (y). También se puede expresar como todos los valores de salida de la función. Por ejemplo: Si x=2, evaluamos f(2) = 2 ^2 = 4. Y así podemos hacerlo con cualquier número, positivo o negativo. Como x está elevada al cuadrado todos los valores resultantes (es decir de salida) son positivos. Con lo anterior se obtiene que elrango está conformado por el cero y todos los números positivos. Al graficar la función se obtiene: Para obtener el rango desde el punto de vista gráfico, debemos poner nuestra atención en el eje y. Se puede ver que el rango está dado por valores mayores o iguales que cero, pues la parábola que lo representa esta ubicada del eje x hacia arriba. Con esto, y lo explicado anteriormente el rango es:  http://quiz.uprm.edu/tutorials_master/fn_dom_range/DomyRang_home.html A una tienda le quedan $5$ manzanas a un costo de $50$ centavos cada una. Si se describe una función de venta, encuentre el dominio y el rango para esta función. El problema se resume a pensar lo siguiente: suponga que tiene una máquina que dado el numero de manzanas nos devuelve el costo de las mismas. El dominio viene dado por el numero de manzanas que podemos entrar en la maquina y el rango por los costos que salen de la misma (ver la siguiente figura). Asi que el dominio y el rango vienen dados por: $\mathrm{Dominio}=\{0,1,2,3,4,5\}$     ,     Rango={0,0.5,1,1.5,2,2.5}   tipos de funciones  Funciones Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, rango o ámbito). De manera más simple: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de la primera corresponde un único valor de la segunda. La función se puede ilustrar mediante un diagrama usando flechas para indicar la forma en que se asocian los elementos de los dos conjuntos. Básicamente, hay tres formas para expresar una función: mediante una tabla de valores (como el ejemplo anterior), mediante una expresión algebraica o, como veremos luego, mediante una gráfica. Tipos de funciones Dependiendo de ciertas características que tome la expresión algebraica o notación de la función f en x, tendremos distintos tipos de funciones: Función constante Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante. Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal. Función lineal Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas. Ejemplo: F(x) = 2x - 1 Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente. Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos. La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces y = ax + b Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen. La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga. El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo. Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma: La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y. La recta siempre va a pasar por el punto (0; b) Representación gráfica de una función lineal o función afín Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera: 1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje. 2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta. 3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta. 4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos. Ejemplo: Graficar la siguiente función: La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3. También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas. Ejemplo: Graficar  la función dada por  f(x) = 2x – 1 Solución Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a  x  y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:                           Si  x = 0, se tiene que  f (0) = 2(0) – 1 = - 1                           Si  x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3 Así, los puntos obtenidos  son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica  correspondiente. Función polinómica El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real). Función cuadrática Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática. La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0.  El vértice de una parábola se determina por la fórmula: Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas. Ejemplo: F(x) = x2  representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0). Función racional Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene: Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida). Función  de potencia Una función de potencia es toda función de la forma  f(x) = xr, donde r es cualquier número real. Las funciones f(x) = x4/3 y  h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia. Ejercicios y ejemplos con funciones en general: Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número: a) Su cuádruplo.      La función es: f (x) = 4x. b) Un número 2 unidades mayor.      La función es: f (x) = x + 2. c) Su mitad menos 1.      La función es: f (x) = x/2 - 1. d) El cuadrado del número que es una unidad menor.      La función es: f (x) = (x - 1)2 Leer más: http://www.monografias.com/trabajos100/matematicas-funciones-y-tipos-funciones/matematicas-funciones-y-tipos-funciones.shtml#ixzz3b17Qsr2w operaciones con funciones: Suma de funciones Sean f  y g dos funciones reales de variable real definidas en un mismo intervalo. Se llama suma de ambas funciones, y se representa por f + g, a la función definida por                                            Resta de funciones Del mismo modo que se ha definido la suma de funciones, se define la resta de dos funciones reales de variable real f y g, como la función                                            Para que esto sea posible es necesario que f y g estén definidas en un mismo intervalo. Producto de funciones Sean f y g dos funciones reales de variable real, y definidas en un mismo intervalo. Se llama función producto de f y g a la función definida por                                            Cociente de funciones Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, y definidas en un mismo intervalo, se llama función cociente de f y g a la función definida por                                                  (La función f/g está definida en todos los puntos en los que la función g no se anula.) Producto de un número por una función Dado un número real a y una función f, el producto del número por la función es la función definida por                                               Ejercicio:  Sean las funciones f(x) = 3x + 1, y g(x) = 2x - 4. Definir la función f + g y calcular las imágenes de los números 2, -3 y 1/5. Resolución: · La función f + g se define como (f + g) (x) = f(x) + g(x) = x + 1 + 2x - 4 = 5x - 3. · (f + g) (2) = 5 · 2 - 3 = 7 (f + g) (-3) = 5(-3) - 3 = -18 (f + g) (1/5) = 5 · 1/5 - 3 = -2 Obsérvese que si se calculan las imágenes de f y g por separado y se suman, el resultado es el mismo. Por ejemplo, para la imagen del 2,                                                         ‚ Dadas las funciones f (x) = x2 - 3, y g(x) = x + 3, definir la función (f - g)(x). Calcular las imágenes de 1/3, -2 y 0 mediante la función f - g. Resolución:       Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y efectuando la resta, se obtiene el mismo resultado. Resolución: Calculando las imágenes de los números mediante las funciones f y g por separado, y multiplicando después, se obtienen los mismos resultados. „ Dadas las funciones f(x) = -x - 1, y g(x) = 2x + 3, definir f/g. Resolución: La función f/g está definida para todos los números reales, salvo para x = -3/2, donde la función g se anula. Calculando por separado las imágenes de los números mediante las funciones f y g, y después efectuando su cociente, se obtienen los mismos resultados. Obtener las imágenes de los números 2, 1 y 0 mediante la función 3 · f. Resolución: http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funoper.htm composicion de funciones: Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)]. Veamos un ejemplo con las funciones f(x) = 2x y g(x) = 3x + 1. (g o f) (x) = g [f(x)] = g (2x) = 3 (2x) +1 = 6x + 1 (g o f) (1) = 6 · 1 + 1 = 7 Ejemplos 1Sean las funciones: 1Calcular (f o g) (x) 2Calcular (g o f) (x) 2 1 2 3 1 2http://www.sectormatematica.cl/contenidos/funcomp.htm  GRAFICA DE UNA FUNCION: En matemáticas, la gráfica de una función: Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f, es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y. Se representa gráficamente mediante una correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Las únicas funciones que se pueden trazar de forma completa son las de una sola variable, con un sistema de coordenadas cartesianas, donde cada abscisa representa un valor de la variable del dominio y cada ordenada representa el valor correspondiente del conjunto imagen. Si la función es continua, entonces la gráfica formará una línea recta o curva. En el caso de funciones de dos variables es posible visualizarlas de forma unívoca mediante una proyección geométrica, pero a partir de tres variables tan solo es posible visualizar cortes (con un plano) de la función para los que los valores de todas las variables, excepto dos, permanezcan constantes. El concepto de gráfica de una función se generaliza a la gráfica de una relación. Notar que si bien cada función tiene una única representación gráfica, pueden existir varias funciones que tengan la misma, pero con dominios y codominios diferentes FUNCIONES LINEALES Y CUADRATICAS Las funciones lineales y cuadráticas se pueden escribir de la forma f(x) = mx + b, y f(x) = ax2 + bx + c respectivamente, quieres saber a detalle que son las funciones lineales y cuadráticas, cómo se representan en la gráfica y algunos ejemplos? http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-y-cuadraticas/  Funciones lineales y cuadráticas Funciones lineales Una función lineal es una función polinómica de primer grado, en un gráfica se representa como una línea recta y se escribe: f(x) = mx + b. Recordemos que los polinomios de primer grado tienen la variable elevada a la primera potencia, cuando la potencia es 1 normalmente no se escribe. m = pendiente de la recta (constante). b = punto de corte de la recta con el eje y (constante). x = variable. Cuando modificamos “m” en una función lineal se modifica la pendiente es decir la inclinación de la recta, si cambiamos “b” la línea se mueve hacía arriba o abajo. Las funciones se pueden clasificar en tres tipos: Si el valor de “m” es mayor a cero la función es creciente. Si el valor de “m” es menor a cero la función es decreciente. Si “m” es igual a cero la función es constante (su gráfica será una recta paralela al eje X). Estos son los tres tipos de funciones: Haz click en la imagen para verla más grande Ejemplo Tenemos la siguiente función: y = 1.5 x + 3 la pendiente es 3/2, cuando aumentamos x en una unidad “y” aumenta en 3/2 de unidad, b = 3 entonces la recta corta el eje y en el punto y = 3. Para graficar podemos hacer una tabla de valores y graficamos cada punto en el plano cartesiano. Funciones cuadráticas Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado que se escribe : f(x) = ax2 + bx + cUNI